Array

Array merupakan bagian dasar pembentukan suatu struktur data yang lebih kompleks. Hampir setiap jenis struktur data kompleks dapat disajikan secara logik oleh array.

Array : Suatu himpunan hingga elemen yang terurut dan homogen, atau dapat didefinisikan juga sebagai pemesanan alokasi memory sementara pada komputer.

Terurut : elemen tersebut dapat diidentifikasi sebagai element pertama, kedua, dan seterusnya sampai elemen ke-n.

Homogen : setiap elemen data dari sebuah array tertentu haruslah mempunyai tipe data yang sama.

Karakteristik Array :

Mempunyai batasan dari pemesanan alokasi memory ( bersifat statis)

Mempunyai type data sama ( bersifat Homogen)

Dapat diakses secara acak.

Berurutan ( terstruktur ).

Array mempunyai dimensi :

Array Dimensi Satu (Vektor)

Array Dimensi Banyak.

Dimensi Dua (Matriks/Tabel)

Dimensi Tiga (Kubik).

ARRAY DIMENSI SATU

Merupakan bentuk yang sangat sederhana dari array.

Setiap elemen array mempunyai subskrip/indeks.

Fungsi indeks/subskrip ini antara lain :

1. Menyatakan posisi elemen pada array tsb.

2. Membedakan dengan elemen lain.

Penggambaran secara fisik Array A(1:N) :

A(1)

A(2)

A(3)

A(4)

…

A(N)

Ket : A : nama array

1,2,3,4,…,N : indeks / subskrip

Secara umum Array Dimensi Satu A dengan tipe T dan subskrip bergerak dari L sampai U ditulis : A(L:U) = (A(I)); I =L , L+1, L+2, …, U

Keterangan : L : batas bawah indeks / lower bound

U : batas atas indeks / upper bound

A : nama Array

Banyaknya elemen array disebut Rentang atau Range A(L:U) = U – L + 1

Range khusus untuk array Dimensi Satu yang mempunyai batas bawah indeks L=1 dan batas atas U=N, maka Range A adalah A(1:N) =( N – 1) + 1 = N

Contoh :

Data hasil pencatatan suhu suatu ruangan setiap satu jam, selama periode 24 jam ditulis dalam bentuk Array Dimensi Satu menjadi

Misal :

nama arraynya Suhu, berarti elemennya dapat kita tulis sebagai Suhu(I), dengan batas bawah 1 dan batas atas 24.

Suhu(I):menyatakan suhu pada jam ke-I dan 1<=I<=24

Range Suhu(1:24)=(24-1)+1=24

ARRAY DIMENSI BANYAK

Array Dimensi Banyak (Multi-Dimensional ARRAY) :

suatu array yang elemen –elemennya berupa array juga.

Array Dimensi Dua perlu dua subskrip/indeks :

a. Indeks pertama untuk menyatakan posisi baris

b. Indeks kedua untuk menyatakan posisi kolom

Secara umum Array Dimensi Dua B dengan elemen-elemen bertype data T dinyatakan sbb : B(L1:U1,L2:U2)={B(I,J)}

L1<=1<=U1, L2<=1<=U2, dan setiap elemen B(I,J) bertype data T

Keterangan : B = nama array

L1 = batas bawah indeks baris

L2 = batas bawah indeks kolom

U1 = batas atas indeks baris

U2 = batas atas indeks kolom

Jumlah elemen baris dari array B adalah (U2 - L2 + 1)

Jumlah elemen kolom dari array B adalah (U1 – L1 + 1)

Jumlah total elemen array adalah (U2 – L2 + 1) * (U1 – L1 + 1)

Suatu array B yang terdiri atas M elemen dimana elemennya berupa array dengan N elemen, maka dapat digambarkan sbb:

1 2 3 …… J ….. N

1

2

3

…

I

B(I,J)

…

M

Array diatas dituliskan :

B(1:M, 1:N) = B(I,J) ;

Untuk I = 1,2,3,………….,M dan

J = 1,2,3,……….., N

Jumlah elemen array B : M * N

Array B berukuran / berorder : M * N

CROSS SECTION

Cross Section dari array berdimensi dua adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah elemen-elemen dlm satu baris saja atau satu kolom saja.

Notasinya : *

Misal

Array B(1:M ;1:N) = {B(I,J)} ;

I = 1,2,3,……..,M dan

J = 1,2,3,…….,N

Maka suatu Cross Section :

B(5,*) = {B(5,1), B(5,2), B(5,3),………, B(5,N)}

B(*,5) = {B(1,5), B(2,5), B(3,5),………, B(M,5)}

TRANSPOSE

Transpose dari suatu array berdimensi dua adalah menukar posisi indeksnya ( menukar posisi baris menjadi kolom atau kolom menjadi baris).

Transpose suatu array dari B dinotasikan BT

B adalah array dua dimensi, B(I,J) maka BT (J,I)

A adalah array dua dimensi yang berorder M x N memepunyai transpose ( AT) N x M

ARRAY DIMENSI TIGA

Banyaknya indeks yang diperlukan array dimensi tiga adalah 3

Pada umumnya, suatu array berdimensi N memerlukan N indeks untuk setiap elemennya.

Secara acak array berdimesi N ditulis sbb:

A(L1:U1, L2:U2, …….., LN:UN ) = (A(I1,I2,……,IN)) dengan LK <= IK<=UK , k = 1,2,3,…, N

Contoh :

Penyajian data mengenai jumlah mahsiswa Manajemen Informatika Universitas Gunadarma berdasarkan tingkat, untuk kelas pagi dan malam dan jenis kelamin.

Jawab :

MHS = nama array

I = 1,2,3,4,5 (tingkat 1/5)

J = 1,2 (1 = pagi; 2 = malam )

K = 1,2 (1 = pria; 2= wanita)

MHS (1:5, 1:2,1:2)

Jadi :

MHS(3,2,2)

jumlah mahasiswa tingkat 3 MI kelas malam untuk jenis kelamin wanita

Cross Section MHS (1,*,2)

jumlah mahasiswa tingkat 1 MI kelas pagi atau malam dan berjenis kelamin wanita.

MAPPING KE STORAGE DARI ARRAY

Skema penyajian dapat dievaluasi berdasarkan 4 karakteristik yaitu :

1. Kesederhanaan dari akses elemen

2. Mudah ditelusuri

3. Efisiensi dari utilitas storage

4. Mudah dikembangkan

ARRAY SATU DIMENSI

Misal:

Diberikan array dengan nama B yang mempunyai indeks 1 s/d N yaitu A(1:N). Cara untuk menyimpan array tersebut adalah sedemikian sehingga urutan secara fisik dari elemen-elemen adalah sama dengan urutan logik dari elemen.

Untuk mengetahui Address Awal ( Starting Address) dari elemen suatu array A(I) perlu diketahui :

1. Address Awal dari array yang bersangkutan

2. Ukuran dari masing-masing elemen array

Address Awal dari array dinyatakan dengan notasi Address Awal yaitu B ( Base Location)

Masing-masing elemennya menggunakan ruang sebanyak S byte.

Address awal dari elemen ke-I dari array A(1:N) adalah :

B + (I – 1 ) * S

Address Awal yang mempunyai batas bawah tidak sama dengan satu, elemen ke-I dari array A(L:U) adalah : B + ( I– L) * S

Misal :

A ( 1:7), address awal dari elemen A(5) adalah : B + ( 5 –1) * S

A ( 3:8), address awal dari elemen A(6) adalah : B + (6 - 3 ) * S

A (-3:4), address awal dari elemen A(2) adalah : B + (2 –(- 3) ) * S

ARRAY MULTI DIMENSI

Memori komputer linier, maka untuk memetakan array dimensi banyak ke storage harus dilinierkan.

Alternatif untuk pelinieran tersebut adalah :

Row Major

Biasanya digunakan COBOL, PASCAL

Menyimpan pertama kali baris pertama dari array, kemudian baris kedua, ketiga dst

Array Rate ( 1:3 , 1:5)

1

2

3

4

5

1

2

Rate(2,3)

3

Menjadi

Rate(2,3)

Baris 1 Baris 2 Baris 3

Array A(I,J) dari array yang didefinisikan sebagai array

A(L1:U1 , L2:U2), mempunyai

Address awal : B + (I – L1) * (U2 – L2 +1) * S + ( J – L2) * S

Contoh :

Array A(1:3, 1:5) dan elemen A(2,3) mempunyai address awal :

B + (2-1) * (5-1+1) * S + (3-1) * S

B + 5 * S + 2 * S

B + 7 * S

Array A(2:4, 3:5) dan elemen A(3,4) mempunyai address awal :

B + (3-2) * (5-3+1) * S + (4-3) * S

B + 1 * 3 * S + 1 * S

B + 4 * S

Column Major

Biasanya digunakan FORTRAN

Menyimpan Kolom pertama dari array kemudian kolom kedua, ketiga, dst

Menjadi

Rate ( 2,3)

Kolom 1 Kolom 2 Kolom 3 Kolom 4 Kolom 5

Array A(I,J) dari array yang didefinisikan sebagai array

A(L1:U1 , L2:U2) mempunyai

Address awal : B + (J – L2) * (U1 – L1 +1) * S + ( I – L1) * S

Contoh :

Array A(1:3, 1:5) dan elemen A(2,3) mempunyai address awal :

B + (3-1) * (3-1+1) * S + (2-1) * S

B + 6 * S + 1 * S

B + 7 * S

Array A(2:4, 3:5) dan elemen A(3,4) mempunyai address awal :

B + (4-3) * (4-2+1) * S + (3-2) * S

B + 1 * 3 * S + 1 * S

B + 4 * S

ARRAY SEGITIGA (TRINGULAR ARRAY)

Ada 2 macam

1. Upper Tringular

Elemen dibawah diagonal utama adalah 0

2. Lower Tringular

Elemen diatas diagonal utama adalah 0

Suatu array dimana elemen diagonalnya juga nol disebut Strictly (upper/lower) Tringular.

Pada array Lower Tringular dengan N baris, jumlah maksimum elemen <> 0 pada baris ke-I adalah I

N

Total elemen <> 0 adalah ∑ I = ( N * ( N+1)) /2

K=1

Untuk N kecil : tidak ada masalah

Untuk N besar :

Elemen yang sama dengan nol tidak usah disimpan dalam memori

Pendekatan terhadap masalah ini adalah dengan pelinieran array dan hanya menyimpan array yang tidak nol.

1. Misal

A array segitiga atas berorder N x N

B array bersegitiga bawah dengan order ( N-1) x ( N-1)

A dan B dapat disimpan sebagai array C berorder N x N

C (I,J) = A(I,J) untuk I <= J

C(I+1,J) = B(I,J) untuk I >= J

2. Misal

A array segitiga atas berorder N x N

B array bersegitiga bawah dengan order N x N

A dan B dapat disimpan sebagai array C berorder N x ( N + 1 )

C (I,J+1) = A(I,J) untuk I <= J

C(I,J) = B(I,J) untuk I >= J

3. Misal

A dan B keduanya merupakan array segitiga atas

Maka untuk menyimpannya secara bersama-sama dengan melakukan transpose terhadap salah satu array tersebut.

Array C berorder N x (N+1)

C (I,J+1) = A(I,J) untuk I <= J

C(J,i) = B(I,J) untuk I >= J

SPARSE ARRAY

Suatu type khusus yang lain dari array

Dikatakan Sparse atau jarang karena elemen-elemen yang tidak nolnya relatif lebih sedikit jumlahnya

Setiap elemen bukan nol pada sparse array dua dimensi dapat direpresentasikan dalam format (Row-Subscript, Column-subscript, value).

Triple ini dapat diurut berdasarkan Row-Subscript Major dan Colum-Subscript Minor dan disimpan dalam bentuk vektor.

Penyajian lain dari Sparse Array adalah dengan menggunakan daftar berkait/ Linked List.

STACK

LINEAR LIST

Linear list adalah suatu struktur data yang merupakan himpunan terurut dari satuan data atau dari record.

Elemen yang terdapat dalam daftar disebut simpul/node.

Daftar disebut Linear karena elemen nampak seperti baris, bahwa setiap simpul (kecuali simpul pertama dan terakhir) selalu memiliki elemen penerus langsung (suksesor) dan elemen pendahulu langsung (predesor).

Misalnya didefinisikan suatu linear list A yang terdiri atas T buah elemen sebagai berikut :

A=[ a1,a2,……………, aT ]

Jika T = 0 , maka A dikatakan sebagai “Null List” (list hampa).

Suatu elemen dapat dihapus (delete) dari sembarang posisi pada linear list .

Suatu elemen baru dapat dimasukkan (insertion) kedalam list dan dapat menempati sembarang posisi pada list tersebut.

Jadi suatu linear list dapat berkurang atau bertambah setiap saat

Contoh : file merupakan linier list yang elemen-elemennya berupa record.

DEFINISI STACK

STACK adalah suatu bentuk khusus dari linear list di mana operasi penyisipan dan penghapusan atas elemen-elemennya hanya dapat dilakukan pada satu sisi saja yaitu posisi akhir dari list. Posisi ini disebut puncak atau disebut sebagai “TOP(S)”.

Prinsip Stack adalah LIFO ( Last In First Out ) atau Terakhir masuk pertama keluar.

Setiap elemen tidak dapat dikeluarkan (POP keluar) sebelum semua elemen diatasnya dikeluarkan.

Elemen teratas (puncak) dari stack dinotasikan sebagai TOP(S)

Misal diberikan stack S sebagai berikut :

S= [ S2,S2,………, ST ]  maka TOP(S) = ST

Untuk menunjukkan jumlah elemen suatu stack digunakan notasi NOEL(S).

Dari stack diatas maka NOEL(S) = T.

NOEL(S) menghasilkan nilai integer.

Jika diberikan sebuah stack S = [A,B,C,D] maka stack S ini dapat digambarkan sebagai berikut :

TOP

TOP

OPERASI PADA STACK

CREATE (STACK)

ISEMPTY (STACK)

PUSH (ELEMEN, STACK)

POP (STACK)

CREATE(S)

Operator ini berfungsi untuk membuat sebuah stack kosong (menjadi hampa) dan didefinisikan bahwa

NOEL (CREATE (S)) = 0 dan

TOP (CREATE(S)) = null / tidak terdefinisi

ISEMPTY(S)

Operator ini berfungsi untuk menentukan apakah suatu stack adalah stack kosong (hampa) atau tidak . Operasinya akan bernilai boolean dengan definisi sebagai berikut :

ISEMPTY(S) = true, jika S adalah stack kosong atau NOEL(S) = 0

False, jika S bukan stack kosong atau NOEL(S) ≠ 0

Catatan : ISEMPTY(CREATE(S)) = true

PUSH(E,S)

Operator ini berfungsi untuk menambahkan satu elemen ke dalam stack . Notasi yang digunakan adalah PUSH(E,S)

Artinya : menambahkan elemen E ke dalam stack S

Elemen yang baru masuk ini akan menempati posisi TOP jadi TOP(PUSH(E,S)) = E

Akibat dari operasi ini jumlah elemen dalam stack akan bertambah, artinya NOEL (S) menjadi lebih besar atau stack menjadi tidak kosong (ISEMPTY(PUSH(E,S)) = false )

POP(S)

Operator ini berfungsi untuk mengeluarkan satu elemen dari dalam stack, notasinya POP(S)

Elemen yang keluar dari dalam stack adalah elemen yang berada pada posisi TOP.

Akibat dari operasi ini jumlah elemen stack akan berkurang atau NOEL(S) berkurang 1 dan elemen pada posisi TOP akan berubah.

Operator ini tidak dapat digunakan pada stack kosong, artinya POP(CREATE(S)) = error condition dan

POP(PUSH(E,S)) = S

Catatan : TOP(PUSH(E,S)) = E

Queue

Adalah suatu bentuk khusus dari linear list dengan operasi penyisipan (insertion) hanya pada salah satu sisi ( Rear/ belakang) dan operasi penghapusan (deletion) hanya diperbolehkan pada sisi lainnya (Front/ depan) dari list.

Antrean Q = [ Q1, Q2, Q3,……….., QT]

Front(Q) = bagian depan dari antrean Q

Rear(Q) = bagian belakang dari antrean Q

Noel(Q) = Jumlah elemen di dalam antrean ( berharga integer)

Jadi : Front(Q) = QT

Rear(Q) = Q1

Noel(Q) = T

Antrean beroperasi secara FIFO ( First In First Out) yang pertama masuk, yang pertama keluar.

Operasi dasar pada Antrean :

CREATE(Q)

Operator untuk membentuk suatu antrean hampa

Q = [,…….,]

NOEL(CREATE(Q)) = 0

FRONT(CREATE(Q)) = tidak didefinisikan

REAR(CREATE(Q)) = tidak didefinisikan

ISEMPTY(Q)

Operator yang menentukan apakah antrean Q hampa atau tidak.

Operand dari operator ISEMPTY adalah antrean.

Hasilnya bertipe data Boolean

ISEMPTY(Q) =TRUE jika Q adalah antrean hampa (NOEL(Q) = 0)

FALSE jika Q bukan antrean kosong (NOEL(Q) ≠ 0)

INSERT(E,Q)

Operator yang menyisipkan elemen E ke dalam antrean Q

Catt : Elemen Q ditempatkan pada bagian belakang antrean dan antrean menjadi lebih panjang

Q = [ A, B, C, D]

REAR(INSERT(E,Q)) = E

FRONT(Q) = A

NOEL(Q) = 5

ISEMPTY(INSERT(E,Q)) = FALSE

REMOVE(Q)

Operator yang menghapus elemen bagian depan dari antrean Q dan antrean menjadi lebih pendek

Jika NOEL(Q) = 0 maka

REMOVE(Q) = ERROR ( UNDERFLOW)

Penyajian dari antrean :

One way list

Array

Menunjukkan bagaimana suatu antrean dalam array Queue dengan N elemen

Antrean mula-mula terdiri dari elemen AAA, BBB, CCC, DDD

1 2 3 4 5 6 7 8 9

FRONT(Q) = AAA : 1

REAR(Q) = DDD : 4

REMOVE(Q)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

FRONT(Q) = BBB : 2

REAR(Q) = DDD : 4

INSERT(EEE,Q)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

FRONT(Q) = BBB : 2

REAR(Q) = EEE : 5

KESIMPULAN :

Untuk setiap kali penghapusan nilai FRONT bertambah

Untuk setiap kali penambahan nilai REAR akan bertambah

Antrean yang disimpan dalam array dengan 5 lokasi memori sebagai array Sirkular.

1. Pada Awal Hampa

FRONT = 0 REAR = 0 1 2 3 4 5

A dan B dimasukkan

FRONT : 1

REAR : 2 1 2 3 4 5

C, D , dan E dimasukkan

FRONT :1

REAR : 5

1 2 3 4 5

A, B, dan C dihapus

FRONT : 4

REAR :5

1 2 3 4 5

F dimasukkan

FRONT : 4

REAR : 1

1 2 3 4 5

D dihapus

FRONT : 5

REAR :1

1 2 3 4 5

G dan H dimasukkan

FRONT : 5

REAR : 3

1 2 3 4 5

E dihapus

FRONT :1